模型过拟合和欠拟合的图像特征

偏差大表示欠拟合，而方差大表示过拟合，我们这一节再深入探讨下过拟合和欠拟合问题。一个经典的图如下：

其中d=1为欠拟合，d=4为过拟合，而d=2则刚刚好。回顾下刚刚说的使用训练集和交叉验证集计算出来的误差（又称代价函数）$J_{train}(\theta )$和$J_{cv}(\theta )$，当d=1的时候，模型欠拟合，那么$J_{train}(\theta )$和$J_{cv}(\theta )$都很大，因为模型对训练集的拟合都不好，对交叉验证集训练出来的结果只会更烂，此时一般来说$J_{train}(\theta )$和$J_{cv}(\theta )$很接近，但是$J_{cv}(\theta )$略高。当d=4的时候，模型过拟合，模型对训练集的拟合已经很好了，但是泛化能力很差，因此$J_{train}(\theta )$比较小，但是$J_{cv}(\theta )$比较大。$J_{train}(\theta )$和$J_{cv}(\theta )$图像如下

方差、偏差和正则化

本节继续深入讨论方差和偏差的关系，以及正则化是如何影响这两者的。
假设对于假设函数$$h(x)={\theta }_0+{\theta }_{1}x+{\theta }_2{x}^2+{\theta }_3{x}^3+{\theta }_4{x}^4$$我们使用如下的正则化代价函数训练$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^m{\theta }_j^2$$那么可能会有如下图三种情况
左边是$\lambda$非常大的情况，也就是对于任意偏差的惩罚都十分重，这时候图像会倾向于欠拟合（高偏差）；右边是$\lambda$非常小的情况，也就是对于任意偏差的惩罚都十分轻微，这时候图像会倾向于过拟合（高方差），就和没使用正则化差不多。只有正则化参数大小适中才能获得泛化能力强偏差小的模型。 另外我们设训练函数为$$J_{train}(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$
也就是去掉正则化项，同样，我们将交叉验证的代价函数和测试集的代价函数设置为$$J_{cv}(\theta )=\frac{1}{2m_{cv}}\sum _{i=1}^{m_{cv}}(h_{\theta }(x_{cv}^{(i)})-y_{cv}^{(i)}{)}^2$$$$J_{test}(\theta )=\frac{1}{2m_{test}}\sum _{i=1}^{m_{test}}(h_{\theta }(x_{test}^{(i)})-y_{test}^{(i)}{)}^2$$

我们会以每次翻一番的速度更新$\lambda$的值，并且得出代价函数$J(\theta )$最小的时候的$\theta$值。然后通过计算出的$\theta$计算$J_{cv}(\theta )$，其基本计算过程如下：
$try\lambda =0\to minJ(\theta )\to {\theta }^{(1)}\to J_{cv}({\theta }^{(1)})$
$try\lambda =0.01\to minJ(\theta )\to {\theta }^{(2)}\to J_{cv}({\theta }^{(2)})$
$try\lambda =0.02\to minJ(\theta )\to {\theta }^{(3)}\to J_{cv}({\theta }^{(3)})$
$try\lambda =0.04\to minJ(\theta )\to {\theta }^{(4)}\to J_{cv}({\theta }^{(4)})$
…
$try\lambda =10.24\to minJ(\theta )\to {\theta }^{(12)}\to J_{cv}({\theta }^{(12)})$

假设我们计算出$J_{cv}({\theta }^{(5)})$的值最小，那么我们可以用选择出来的${\theta }^{(5)}$来计算出其$J_{test}({\theta }^{(5)})$的值，该值可以衡量模型对新样例泛化的能力

之前我们谈到，如果正则化参数很小，那么会过拟合；反之则会欠拟合，我们画出正则化参数和$J_{cv}(\theta )$以及$J_{train}(\theta )$的关系。

其中紫红色的为$J_{cv}(\theta )$，蓝色的为$J_{train}(\theta )$，因为$\lambda$小的时候，过拟合对训练集拟合很好，但是泛化能力很差；而$\lambda$过大的时候，欠拟合对训练集都拟合不充分，其泛化能力也很差

学习曲线

学习曲线可以验证你的模型是否正确，或者改进算法的精度。我们以训练集的数量m作为横轴，将代价函数作为纵轴，那么可以得出如下的图像：

如果只有训练集一个样例，那么训练集可以拟合的十分精准——只需要找到任意一条经过该点的曲线便可，但是其泛化能力是很差的。随着样例数量增加，实际上假设函数无法精确经过每一个样例，此时$J_{train}(\theta )$会有所上升，但是逐渐总结出规律后，样例和假设函数的偏差不会太大，因此$J_{train}(\theta )$在上升后会逐渐趋于平缓。而模型的泛化能力则是随着训练集样本的增加而逐渐增强的，因此$J_{cv}(\theta )$一开始会很高，然后逐渐下降。

在欠拟合（高偏差）的情况下，如果我们增大训练量会怎么样？（如图右边）

结果是没什么用，因为假设函数次数不够，哪怕增加了样例其假设函数（也就是误差）还是很高。同样的，连训练集都搞不定就更别提交叉验证集了，其结果是$J_{train}(\theta )$和$J_{cv}(\theta )$都很高。其结论是，如果在欠拟合的情况下，增大训练集数据量会使得$J_{train}(\theta )$和$J_{cv}(\theta )$逐渐趋于平缓，但其值依旧较高。

在过拟合（高方差）的时候，如果增加样本量会如何？

可以看出样本小的时候对训练集拟合很好，但是泛化能力很差。随着样本量增大，假设函数很难将所有训练集样本都拟合的很好，因此$J_{train}(\theta )$会轻微上升，但是换来的是其泛化能力的增强——因为模型学会应对更多情况了因此$J_{cv}(\theta )$会逐渐下降，而如果持续增大样本来给你，其$J_{cv}(\theta )$和$J_{train}(\theta )$会逐渐靠近，最后$J_{train}(\theta )$只比$J_{cv}(\theta )$大一些，而总的来说，两个值都会比在欠拟合情况下要小得多

总结

接下来我们总结若干应对各种问题的方法：
修正过拟合（高方差）：增加训练及数量、使用更少的特征、增加正则化参数的值
修正欠拟合（高偏差）：增加额外的特征、增加假设函数的复杂度和次方数、减小正则化参数的值