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方法思路

1. 问题分析
   在一个非递减数组中，寻找目标值的起始和结束位置。若不存在，返回 [-1, -1]。需在 O(log n) 时间内完成。

2. 关键观察

   • 左边界（第一个等于 target 的位置）：通过二分查找找到第一个 不小于 target 的位置。
   • 右边界（最后一个等于 target 的位置）：通过二分查找找到第一个 大于 target 的位置，再减一。

3. 二分查找设计

   • lowerBound：寻找第一个 ≥ target 的位置。
   • upperBound：寻找第一个 > target 的位置。

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代码解释

整体代码

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        if(nums.empty()) return {-1,-1};
        int lower = lowerbound(nums, target);
        int upper = upperbound(nums, target) - 1;  // 右边界为 upperBound-1
        if(lower==nums.size()||nums[lower]!=target) return{-1,-1};
        return {lower,upper};
    }
    int lowerbound(vector<int>& nums,int target)
    {
        int l=0,r=nums.size(),mid;
        while(l<r)
        {
            mid = l+(r-l)/2;
            if(nums[mid]<target)
            {
                l=mid+1;
            }else{
                r=mid;
            }
        }
        return r;
    }
    int upperbound(vector<int>& nums,int target)
    {
        int l=0,r=nums.size(),mid;
        while(l<r)
        {
            mid = l+(r-l)/2;
            if(nums[mid]<=target)
            {
                l=mid+1;
            }else{
                r=mid;
            }
        }
        return r;
    }
};

1. lowerBound 函数

int lowerBound(vector<int> &nums, int target) {
    int l = 0, r = nums.size(), mid;
    while (l < r) {
        mid = l + (r - l) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            l = mid + 1;  // 目标在右侧，缩小左边界
        } else {
            r = mid;      // 目标在左侧或当前，缩小右边界
        }
    }
    return l;  // 最终 l 是第一个 ≥ target 的位置
}

• 逻辑：若 nums[mid] < target，说明左边界在右侧；否则可能在左侧或当前。
• 终止条件：当 l == r 时，l 是第一个满足 ≥ target 的位置。

2. upperBound 函数

int upperBound(vector<int> &nums, int target) {
    int l = 0, r = nums.size(), mid;
    while (l < r) {
        mid = l + (r - l) / 2;
        if (nums[mid] <= target) {
            l = mid + 1;  // 目标在右侧，缩小左边界
        } else {
            r = mid;      // 目标在左侧或当前，缩小右边界
        }
    }
    return l;  // 最终 l 是第一个 > target 的位置
}

• 逻辑：若 nums[mid] ≤ target，说明右边界在右侧；否则可能在左侧或当前。
• 终止条件：当 l == r 时，l 是第一个满足 > target 的位置。

3. 主函数 searchRange

vector<int> searchRange(vector<int> &nums, int target) {
    if (nums.empty()) {
        return {-1, -1};  // 空数组直接返回
    }
    int lower = lowerBound(nums, target);
    int upper = upperBound(nums, target) - 1;  // 右边界为 upperBound-1
    
    // 检查是否存在目标值
    if (lower >= nums.size() || nums[lower] != target) {
        return {-1, -1};
    }
    return {lower, upper};
}

• 步骤：
  1. 处理空数组情况。
  2. 计算左边界 lower 和右边界 upper（通过 upperBound - 1）。
  3. 验证 lower 是否有效且对应值等于 target。

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示例分析

以 nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 为例：

1. lowerBound 过程：
   • 最终返回 3（第一个 8 的位置）。
2. upperBound 过程：
   • 返回 5（第一个 >8 的位置），upper = 5-1 = 4。
3. 结果：[3,4]。

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边界情况处理

• 数组为空：直接返回 [-1, -1]。
• 目标不存在：若 lower 越界或 nums[lower] != target，返回 [-1, -1]。
• 单元素数组：如 nums = [1]，target = 1，结果为 [0,0]。

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复杂度分析

• 时间复杂度：两次二分查找，每次 O(log n)，总时间为 O(log n)。
• 空间复杂度：O(1)，仅用常数空间。

思考：为什么r=nums.size()而不是nums.size()-1?

[1] target=1的情况会输出[0,-1]
在二分查找中，右边界初始化为 nums.size() 而非 nums.size()-1 是设计上的关键，这与二分查找的区间定义和终止条件密切相关。以下详细解释原因，并通过示例分析说明为什么修改为 r = nums.size()-1 会导致错误。

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1. 区间定义与初始化

二分查找的区间可以是 左闭右开 [l, r) 或 左闭右闭 [l, r]，不同的定义会影响初始化和循环条件。

• 原题解的设计（左闭右开）
  初始区间为 [0, nums.size())，即所有可能的元素位置。循环条件是 l < r，确保区间合法性。

• 若修改为 r = nums.size()-1
  此时区间变为左闭右闭 [0, nums.size()-1]，循环条件需改为 l <= r，否则会漏掉最后一个元素。

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2. 问题根源分析

当尝试将 r 初始化为 nums.size()-1 时，若未同步调整循环条件和边界更新逻辑，会导致以下问题：

示例：nums = [1], target = 1

假设修改 lowerBound 的初始化为 r = nums.size()-1 = 0，并保持循环条件 l < r：

1. 初始状态：l = 0, r = 0 → 循环条件 0 < 0 不成立，直接返回 l = 0。
   • 表面正确：lowerBound 返回 0，看似正确。
2. upperBound 的问题：
   • 初始状态 l = 0, r = 0 → 循环不执行，返回 l = 0。
   • upper = 0 - 1 = -1 → 最终结果 [0, -1]，显然错误。

问题根源：在左闭右闭区间下，循环条件必须为 l <= r，否则无法处理区间内仅剩一个元素的情况。

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3. 原题解的设计优势

原题解将区间定义为左闭右开 [l, r)，初始化为 r = nums.size()，优势如下：

示例：nums = [1], target = 1

1. lowerBound 过程：

   • 初始区间 [0, 1)，循环条件 0 < 1 成立。
   • mid = 0 + (1-0)/2 = 0，检查 nums[0] < 1 → 不成立，更新 r = 0。
   • 循环结束，返回 l = 0（正确左边界）。

2. upperBound 过程：

   • 初始区间 [0, 1)，循环条件 0 < 1 成立。
   • mid = 0，检查 nums[0] <= 1 → 成立，更新 l = 1。
   • 循环结束，返回 l = 1 → upper = 1 - 1 = 0（正确右边界）。

结果正确：[0, 0]。

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4. 修改为 r = nums.size()-1 的后果

若强制将 r 初始化为 nums.size()-1，但未调整其他逻辑，会导致以下问题：

示例：nums = [2, 2], target = 2

1. lowerBound（假设 r = 1，循环条件 l < r）：

   • 初始区间 [0, 1)（实际只检查索引 0）。
   • 返回 l = 0（正确左边界）。

2. upperBound（假设 r = 1，循环条件 l < r）：

   • 初始区间 [0, 1)，mid = 0，检查 nums[0] <= 2 → 成立，更新 l = 1。
   • 循环结束，返回 l = 1 → upper = 1 - 1 = 0。
   • 错误结果：[0, 0]（正确应为 [0, 1]）。

原因：右边界初始化为 1 导致 upperBound 未检查索引 1。

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5. 正确设计的数学保证

• 左闭右开区间 [l, r)：
  覆盖所有元素，循环终止时 l == r，确保所有可能的位置被检查。

• 边界更新逻辑：
  若 nums[mid] < target → 左边界更新为 mid + 1（排除 mid）；
  否则 → 右边界更新为 mid（保留 mid 作为候选）。

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结论

将 r 初始化为 nums.size() 是为了定义左闭右开区间 [l, r)，确保：

1. 覆盖所有元素，包括数组末尾。
2. 终止条件严格，避免遗漏或重复检查。
3. 与边界更新逻辑一致，保证正确性。

若强行改为 r = nums.size()-1，需同步修改循环条件和边界更新逻辑，否则会破坏算法的数学保证，导致边界错误。

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为何不用再检查upper的情况？

在题解中，无需额外检查 upper 的越界或值是否匹配，因为以下逻辑已经确保当 lower 有效时，upper 必然有效且正确：

1. lower 的有效性保证 upper 的有效性

• lower 的定义：通过 lowerBound 找到的是第一个 ≥ target 的位置。若 lower 有效（未越界且 nums[lower] == target），说明数组中存在 target。
• upperBound 的定义：返回第一个 > target 的位置，因此 upper = upperBound - 1 是最后一个 ≤ target 的位置。
  • 由于数组是非递减的，lower 到 upper 之间的所有元素必然都等于 target。
  • 例如，nums = [5,7,7,8,8,10]，target = 8：
    • lowerBound 返回 3（第一个 8），upperBound 返回 5（第一个 >8 的位置），upper = 4（最后一个 8）。

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2. 关键条件 nums[lower] == target 的覆盖性

• 如果 lower 有效且 nums[lower] == target，则 upper 必定有效：
  • upperBound 返回的值范围为 [0, nums.size()]，因此 upper = upperBound - 1 的范围为 [-1, nums.size()-1]。
  • 但只有当 lower 有效时（即存在 target），upper 才会落在 [lower, nums.size()-1] 范围内，不可能越界。
• 示例验证：
  • 存在 target：nums = [8,8,8]，lower = 0，upper = 2，均有效。
  • 不存在 target：nums = [5,7,7,10]，target = 8，lower = 3（越界或 nums[3] != 8），直接返回 [-1,-1]。

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3. 为何不需要检查 upper

• 逻辑闭环：lower 的检查已经覆盖了所有可能的目标值不存在的情况：
  1. 数组为空：直接返回 [-1, -1]。
  2. lower 越界（如 lower = nums.size()）：说明所有元素 < target，直接返回 [-1, -1]。
  3. nums[lower] != target：说明 lower 是第一个 > target 的位置（此时 target 不存在），返回 [-1, -1]。
• 数学保证：若 lower 有效且 nums[lower] == target，则 upper 必定是最后一个 target 的位置，无需二次验证。

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错误案例模拟

假设强行添加对 upper 的检查：

if (lower >= nums.size() || nums[lower] != target || upper >= nums.size() || nums[upper] != target) {
    return {-1, -1};
}

• 冗余性：当 lower 有效且 nums[lower] == target 时，upper 一定是最后一个 target，不可能出现 nums[upper] != target。
• 矛盾性：如果 nums[upper] != target，则说明 upperBound 的计算错误，但这与算法的数学逻辑矛盾。

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通过 lowerBound 和 upperBound 的配合，结合对 lower 的检查，已严格确保结果的正确性。额外检查 upper 是冗余的，因为算法的数学逻辑和代码实现已覆盖所有边界情况。